6 класс. Математика. Простые и составные числа

6 класс. Математика. Простые и составные числа

Комментарии преподавателя

 Простые и составные числа. Примеры. Определение. Следствия.

Вве­де­ние

Любое число можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния еди­ни­цы на само это число.

На­при­мер, 

В общем виде 

Вывод: вся­кое число де­лит­ся на само себя и на еди­ни­цу.

Рас­смот­рим таб­ли­цу

На­ту­раль­ное число

Де­ли­те­ли числа

Ко­ли­че­ство де­ли­те­лей

45

1, 3, 5, 9, 15, 45

6

29

1, 29

2

24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

8

13

1, 13

2

1

1

1

В за­ви­си­мо­сти от ко­ли­че­ства де­ли­те­лей среди на­ту­раль­ных чисел вы­де­ля­ют про­стые и со­став­ные.

Опре­де­ле­ния:

Число, ко­то­рое имеет толь­ко два раз­лич­ных де­ли­те­ля – еди­ни­цу и само это число – на­зы­ва­ют про­стым.

Число, ко­то­рое имеет более двух де­ли­те­лей, на­зы­ва­ют со­став­ным.

Число 1 имеет един­ствен­ный де­ли­тель. По­это­му еди­ни­цу не от­но­сят ни к со­став­ным, ни к про­стым чис­лам.

След­ствие 1

Все на­ту­раль­ные числа можно раз­бить на 3 груп­пы:

  1. Число 1. Оно имеет един­ствен­ный де­ли­тель.
  2. Про­стые числа. Они имеют в точ­но­сти два де­ли­те­ля.
  3. Со­став­ные числа. У этих чисел более двух де­ли­те­лей.

Чтобы узнать, про­стым или со­став­ным яв­ля­ет­ся число, можно вос­поль­зо­вать­ся таб­ли­ца­ми.

Таб­ли­ца про­стых чисел от 2 до 997 при­ве­де­на на фор­за­це учеб­ни­ка. Пер­вые де­сять про­стых чисел – это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. По­лез­но вы­учить их на­и­зусть.

След­ствие 2

Любое со­став­ное число можно раз­ло­жить на два мно­жи­те­ля, каж­дый из ко­то­рых боль­ше 1.

На­при­мер, 

Любое про­стое число можно раз­ло­жить на два мно­жи­те­ля, один из ко­то­рых равен 1.

На­при­мер, 

 Разбор примера. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 676 являются составными.

До­ка­жи­те, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 яв­ля­ют­ся со­став­ны­ми.

2968, 3600, 888 888

Пер­вые три числа за­кан­чи­ва­ют­ся на чет­ную цифру. Сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 2, эти числа де­лят­ся на 2. Зна­чит, имеют, по край­ней мере, три де­ли­те­ля.

Вывод: эти три числа яв­ля­ют­ся со­став­ны­ми по опре­де­ле­нию.

676 767

За­ме­тим, что это число де­лит­ся на 67. Кроме того, сумма цифр равна 39. 39 де­лит­ся на 3. Зна­чит, все число де­лит­ся на 3.

Таким об­ра­зом, число 676 767 имеет, как ми­ни­мум, че­ты­ре де­ли­те­ля.

Вывод: это число яв­ля­ет­ся со­став­ным.

 Разбор примера. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Может ли про­из­ве­де­ние двух про­стых чисел быть про­стым чис­лом?

 

Пусть a и b – это неко­то­рые про­стые числа. Число a де­лит­ся на 1 и на само себя. Число b де­лит­ся на 1 и на само себя.

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние . Мы знаем, что если одно из двух чисел де­лит­ся на неко­то­рое число, то их про­из­ве­де­ние де­лит­ся на это число.

Кроме того, про­из­ве­де­ние  де­лит­ся на еди­ни­цу и на само себя.

Вывод: Про­из­ве­де­ние  имеет, как ми­ни­мум, че­ты­ре де­ли­те­ля. Зна­чит, это со­став­ное число. Оно не может быть про­стым.

 Разбор примера. Найдите два составных числа m, которые удовлетворяют неравенству 56<m<60.

Най­ди­те два со­став­ных числа m, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют нера­вен­ству .

57, 58, 59

Вы­пи­шем все целые числа, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют нера­вен­ству.

57

Сумма цифр этого числа12. 12 де­лит­ся на 3. Сле­до­ва­тель­но, 57 де­лит­ся на 3. Зна­чит, это число со­став­ное.

58

Это чет­ное число. Зна­чит, у него уже есть три де­ли­те­ля: 1, 58 и 2.

Сле­до­ва­тель­но, 58 – это со­став­ное число.

Ответ: 57, 58.

 Разбор примера. Верно ли, что все четные числа являются составными?

Верно ли, что все чет­ные числа яв­ля­ют­ся со­став­ны­ми?

Ответ: невер­но. При­ме­ром слу­жит число 2.

 Разбор примера. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

Может ли пло­щадь квад­ра­та вы­ра­жать­ся про­стым чис­лом, если длина его сто­ро­ны вы­ра­жа­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом? 

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной a.

Его пло­щадь вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Иначе, эту фор­му­лу можно за­пи­сать:

 

Оче­вид­но, что про­из­ве­де­ние  де­лит­ся на .

Число имеет, как ми­ни­мум, три де­ли­те­ля. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь квад­ра­та не может вы­ра­жать­ся про­стым чис­лом.

За­ме­ча­ние. Если a = 1, то S = 1. Еди­ни­ца – это ни про­стое, ни со­став­ное число

Ответ: не может.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/prostye-i-sostavnye-chisla

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=43T_H4EGIFY

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=yK5lWNIhVLo

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=2gtIIXw6Ne8

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/prostye-i-sostavnye-chisla2.html

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/prostyie-i-sostavnyie-chisla.html

Файлы