6 класс. Математика. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

6 класс. Математика. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Комментарии преподавателя

 Введение

Уви­дев очень вы­со­ко­го че­ло­ве­ка, мы можем пред­по­ло­жить, что он бас­кет­бо­лист.

Глядя на очень боль­шой ка­мень, мы пой­мем, что нам не удаст­ся его под­нять, он слиш­ком тя­же­лый. Глядя на число 252, мы по­ни­ма­ем, что оно де­лит­ся на 2.

Во всех этих при­ме­рах мы не про­ве­ря­ли, а де­ла­ли вывод на ос­но­ве внеш­них при­зна­ков. При­чем в пер­вых двух слу­ча­ях мы могли оши­бить­ся, но про число 252 мы знаем точно. По­след­няя цифра де­лит­ся на 2, зна­чит, и все число де­лит­ся. Про­сто в ма­те­ма­ти­ке есть точ­ные при­зна­ки де­ли­мо­сти на раз­ные числа. Легко по­нять, что 12 де­лит­ся на 2 или что 100 де­лит­ся на 10.

Но, ока­зы­ва­ет­ся, можно быст­ро по­нять, де­лит­ся ли на 3 числа 16547984622, 45758554963. Пер­вое де­лит­ся, а вто­рое – нет. Про­сто сумма цифр пер­во­го числа де­лит­ся на 3, а у вто­ро­го – нет. Это и ука­зы­ва­ет, де­лит­ся ли само число на 3.

При­зна­ки де­ли­мо­сти на раз­ные числа устро­е­ны по-раз­но­му. Но есть по­хо­жие, од­но­го типа. Се­год­ня мы нач­нем с при­зна­ков де­ли­мо­сти на 10, 5 и 2. Они устро­е­ны оди­на­ко­во: смот­рим на по­след­нюю цифру и по­ни­ма­ем, де­лит­ся или нет.

 Признаки делимости

Нач­нем с са­мо­го глав­но­го во­про­са: что зна­чит «одно число де­лит­ся на дру­гое»? На­при­мер, что зна­чит, что число 15 де­лит­ся на 5? Это озна­ча­ет, что число 15 можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния двух на­ту­раль­ных чисел, и одно из них будет 5.

15 со­дер­жит еще и мно­жи­тель 3, это озна­ча­ет, что 15 де­лит­ся и на 3 тоже.

Тот факт, что  де­лит­ся на  (), мы можем за­пи­сать или сло­ва­ми, или ука­зать, что  со­дер­жит мно­жи­тель . Вто­рой мно­жи­тель , это ре­зуль­тат де­ле­ния на .

 Делимость чисел, оканчивающихся 0

Те­перь рас­смот­рим числа, ко­то­рые окан­чи­ва­ют­ся нулем. Если число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то в его раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли вхо­дит мно­жи­тель 10.

На­при­мер, . Мы знаем, что 10 мы можем пред­ста­вить как , тогда . Мы по­лу­чи­ли, что фразы «в раз­ло­же­нии со­дер­жит­ся мно­жи­тель 10» и «в раз­ло­же­нии со­дер­жат­ся мно­жи­те­ли 5 и 2» эк­ви­ва­лен­ты. Таким об­ра­зом, можем утвер­ждать, что если число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то оно де­лит­ся на 10, на 5 и на 2.

 Основная теорема арифметики

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли: . По­лу­чи­ли эк­ви­ва­лент­ную за­пись числа 60. Видим, что число 30 также рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, по­лу­чим ещё одну эк­ви­ва­лент­ную за­пись: . Про­дол­жим до тех пор, пока можем рас­кла­ды­вать на мно­жи­те­ли: .

По­лу­чен­ные числа раз­ло­жить на мно­жи­те­ли уже не по­лу­ча­ет­ся – они не де­лят­ся ни на одно число, кроме 1 и себя. Такие числа на­зы­ва­ют­ся про­сты­ми. Осталь­ные числа (на­при­мер, 60, 30, 15 на­зы­ва­ют­ся со­став­ны­ми). 1 счи­та­ет­ся един­ствен­ным чис­лом, ко­то­рое не яв­ля­ет­ся ни про­стым, ни со­став­ным.

По­нят­но, что, ис­поль­зуя наш ал­го­ритм (пред­став­ляя любой со­став­ной мно­жи­тель в виде про­из­ве­де­ния), для лю­бо­го числа рано или позд­но можно по­лу­чить его эк­ви­ва­лент­ное пред­став­ле­ние в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей.

 Но мы могли пойти по-дру­го­му: .

Как видим, по­лу­чи­лось то же эк­ви­ва­лент­ное пред­став­ле­ние (с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей). Все­гда ли так будет? Ока­зы­ва­ет­ся, да. Можно до­ка­зать, что любое число един­ствен­ным об­ра­зом пред­став­ля­ет­ся в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей. Этот ре­зуль­тат на­зы­ва­ет­ся ос­нов­ной тео­ре­мой ариф­ме­ти­ки.

По­лу­ча­ет­ся, что как бы мы ни рас­кла­ды­ва­ли число на про­стые мно­жи­те­ли, в итоге мы по­лу­чим одно и то же раз­ло­же­ние (с точ­но­стью до по­ряд­ка).

Если про­ве­сти ана­ло­гию, то про­стые мно­жи­те­ли – это буквы, из ко­то­рых со­сто­ят числа – слова. До­бавь или убери букву – смысл слова из­ме­нит­ся. Так же и с про­сты­ми мно­жи­те­ля­ми: любое из­ме­не­ние в на­бо­ре про­стых мно­жи­те­лей даст нам дру­гое число.

Таким об­ра­зом, про­стые числа –такие числа, ко­то­рые нель­зя раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, на­при­мер, 2, 3, 5. Со­став­ные числа – такие числа, ко­то­рые можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли. А любое число можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей един­ствен­ным об­ра­зом.

 Деление нуля и деление на нуль

Число  де­лит­ся на число  тогда и толь­ко тогда, когда а со­дер­жит bкак мно­жи­тель.

Об­ра­тим вни­ма­ние на число 0. Это число можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние нуля и лю­бо­го дру­го­го числа: . Таким об­ра­зом, ноль де­лит­ся на любое число. Ре­зуль­та­том будет вто­рой мно­жи­тель – 0.

А что с де­ле­ни­ем на ноль? Если бы неко­то­рое число можно было по­де­лить на ноль, то был бы ответ: . Тогда вспом­ним о том, что де­ле­ние – это опе­ра­ция об­рат­ная умно­же­нию: . Но  все­гда будет равно 0, а мы это число вы­би­ра­ли про­из­воль­но. Так мы при­шли к про­ти­во­ре­чию.

На самом деле без де­ле­ния на ноль можно обой­тись, по­это­му дан­ная опе­ра­ция нам не нужна.

Таким об­ра­зом, ноль можно де­лить на любое число, не рав­ное нулю, и по­лу­чать ноль. При этом ни­ка­кое число на ноль де­лить нель­зя.

 Правило о делимости суммы

Рас­смот­рим два ра­вен­ства.

В пер­вом ра­вен­стве: сла­га­е­мое 16 де­лит­ся на 4, сла­га­е­мое 1 не де­лит­ся на 4, и сумма 17 не де­лит­ся на 4.

Во вто­ром ра­вен­стве: сла­га­е­мые 16 и 4 де­лят­ся на 4, и сумма 20 также де­лит­ся на 4.

Таким об­ра­зом мы по­лу­ча­ем пра­ви­ло: если каж­дое из сла­га­е­мых де­лит­ся на за­дан­ное число, то и сумма тоже де­лит­ся на это число. Если одно из сла­га­е­мых де­лит­ся на за­дан­ное число, а вто­рое – нет, то сумма не де­лит­ся на это число.

 Пример

Возь­мем очень боль­шое число, на­при­мер, 31419265358979323846. По­ста­ра­ем­ся опре­де­лить, на какие числа оно де­лит­ся.

Пред­ста­вим наше число в виде суммы: .

Пер­вое сла­га­е­мое окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, оно де­лит­ся на 10, на 5 и на 2.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 не де­лит­ся на 10 (а пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма не де­лит­ся на 10.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 не де­лит­ся на 5 (а пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма не де­лит­ся на 5.

Вто­рое сла­га­е­мое 6 де­лит­ся на 2 (и пер­вое де­лит­ся), а зна­чит, со­глас­но пра­ви­лу, и сумма де­лит­ся на 2.

Итак, сде­ла­ем вывод в виде тео­ре­мы.

 Общий признак делимости суммы

Если каж­дое сла­га­е­мое суммы де­лит­ся на одно число, то и вся сумма де­лит­ся на это число. На­при­мер,  де­лит­ся на 3, так как и 3, и 12, и 9, и 6 де­лят­ся на 3.

Если все сла­га­е­мые де­лят­ся, а одно сла­га­е­мое не де­лит­ся на число, то сумма не будет де­лить­ся на это число. На­при­мер,  не де­лит­ся на 5, так как все сла­га­е­мые, кроме од­но­го (4), де­лят­ся на 5.

Если два и боль­ше сла­га­е­мых не де­лят­ся на число, то ре­зуль­тат может быть раз­лич­ным. На­при­мер,  де­лит­ся на 4, а при этом толь­ко сла­га­е­мое 4 де­лит­ся на 4, а осталь­ные два (5 и 3) на 4 не де­лят­ся.

Или  не де­лит­ся на 4, хотя си­ту­а­ция не из­ме­ни­лась: одно сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, а осталь­ные два (3 и 6) не де­лят­ся.

 Теорема (признак делимости на 2, 5 и 10)

Тео­ре­ма (при­знак де­ли­мо­сти на 2, 5 и 10): число де­лит­ся на 2, на 5 или 10 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра этого числа де­лит­ся на 2, на 5 или на 10 со­от­вет­ствен­но.

До­ка­за­тель­ство

Пусть за­да­но число . Пред­ста­вим его в виде суммы двух сла­га­е­мых:

Сла­га­е­мое  окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, де­лит­ся на 10, на 5, на 2. Но тогда де­ли­мость на 10, 5 и 2 всей суммы за­ви­сит от вто­ро­го сла­га­е­мо­го, ко­то­рое яв­ля­ет­ся по­след­ней циф­рой на­ше­го числа.

Таким об­ра­зом, если по­след­няя цифра числа де­лит­ся на 10, 5 или 2, то и все число де­лит­ся на 10, 5 или 2 со­от­вет­ствен­но. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Примеры

Опре­де­лить, де­лит­ся ли число на 10, 5 и 2.

1) 

Так как число окан­чи­ва­ет­ся нулем, то оно де­лит­ся на 10, 5 и 2.

2) 12687

Дан­ное число окан­чи­ва­ет­ся 7, 7 не де­лит­ся ни на 2, ни на 5, ни на 10, а зна­чит, и число 12687 на них не де­лит­ся.

3) 1256

Дан­ное число окан­чи­ва­ет­ся 6, 6 де­лит­ся на 2, но не де­лит­ся на 5 и на 10, зна­чит, число 1256 де­лит­ся на 2, но не де­лит­ся на 5 и на 10.

4) 258585

По­след­няя цифра 5, 5 де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 2 и 10, зна­чит, 258585 де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 2 и 10.

5) 520000

Число окан­чи­ва­ет­ся нулем, а зна­чит, оно де­лит­ся на 2, 5 и 10.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: по по­след­ней цифре мы можем су­дить толь­ко о де­ли­мо­сти на 2, на 5 и на 10. Для де­ли­мо­сти на дру­гие числа нель­зя ис­поль­зо­вать этот при­знак. На­при­мер, число 13 не де­лит­ся на 3, хотя и окан­чи­ва­ет­ся 3, ко­то­рое на 3 де­лит­ся. Или 17 не де­лит­ся 7, хотя и по­след­няя цифра 7 на 7 де­лит­ся.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/priznaki-delimosti-na-10-na-5-i-na-2

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=DJHdBicHi8s

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=8B0MazGfwvs

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=lOcNTfRCeac

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/priznaki-delimosti-na-0.html

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/priznaki-delimosti-na-2-5-10.html

Файлы